Polinomial

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk seperti berikut:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial tersebut.

1) Cara substitusi
Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika nilai x diganti k, maka nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak3 + bk2 + ck + d. Agar lebih memahami tentang cara substitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.
1. f(x) = 2×3 + 4×2 – 18 untuk x = 3
2. f(x) = x4 + 3×3 – x2 + 7x + 25 untuk x = –4
Penyelesaian :
1. f(x) = 2×3 + 4×2 – 18

f(3) = 2 . 33 + 4 . 32 – 18
= 2 . 27 + 4 . 9 – 18
= 54 + 36 – 18
f(3) = 72
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 3 adalah 72.
2. f(x) = x4 + 3×3 – x2 + 7x + 25
f(–4) = (–4)4 + 3⋅ (–4)3 – (–4)2 + 7 ⋅ (–4) + 25
= 256 – 192 – 16 – 28 + 25
f(–4) = 45
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = –4 adalah 45.

2) Cara Horner/bangun/skema/sintetik
Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika akan ditentukan nilai suku banyak x = k, maka:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
f(x) = (ax2 + bx + c)x + d
f(x) = ((ax + b)x + c)x + d
Sehingga f(k) = ((ak + b)k + c)k + d.
Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut ini.

Agar lebih memahami tentang cara Horner, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
1. f(x) = x3 + 2×2 + 3x – 4 untuk x = 5
2. f(x) = 2×3 – 3×2 + 9x + 12 untuk x = ½

Penyelesaian :

Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = ½ 

2. Derajat Suku Banyak pada Hasil Bagi dan Sisa Pembagian

Contoh soal:
Tentukanlah derajat dari hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
2×3 + 4×2 – 18 dibagi x – 3.
Penyelesaian
2×3 + 4×2 – 18 dibagi x – 3.
a. Dengan cara susun

Teorema sisa 1.

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi dengan  x – a, maka sisanya adalah F(a).

Bukti :

         Diketahui f (x) = (x – k) h(x) + S . Perhatikan bahwa derajat S lebih rendah satu dari pada derajat     (x – k) , dengan demikian S adalah konstanta. Karena f(x) = (x – k) k(x) + S berlaku untuk semua nilai x, maka jika x diganti dengan k , maka akan diperoleh:

f (k) = (k – k) h(k) + S
       = 0 ⋅ h(k) + S
       = 0 + S
       = S

Teorema sisa 2.

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi dengan  ax – b, maka sisanya adalah F(b/a)

jika x diganti dengan a
f (a) = (a – a)(a - b) h(a) + (pa+q). 
       = 0 ⋅ h(a) + (pa+q)
       = 0 + (pa+q)
       = pa+q
- jika x diganti dengan b
f (b) = (b – a)(b - b) h(b) + (pb+q). 
       = 0 ⋅ h(b) + (pb+q)
       = 0 + (pb+q)
       = pb+q
Jadi, S = px+q , dimana f(a) = pa+q dan f(b) = pb+q

Teorema sisa 3

Contoh soal:

Tentukan sisa pembagian suku banyak F(x) = 3x⁴ – 2x – 4 yang dibagi oleh (x – 1)(x + 1).

Jawaban :

Misalkan sisa pembagian suku banyak F(x) oleh (x – 1)(x + 1) mempunyai sisa ax + b.

1)    F(x) dibagi x – 1 mempunyai sisa F(1) atau sisanya a(1) + b

F(1) = 3.1⁴ – 2.1 – 4 = -3

Diperoleh persamaan:

F(1) = a + b, sehingga a + b = -3 .......(1)

2)    F(x) dibagi x + 1 mempunyai sisa F(-1) atau sisanya a(-1) + b atau ditulis -a + b

F(-1) = 3.(-1)⁴ – 2.(-1) – 4 = 3 + 2 – 4 = 1

Diperoleh persamaan:

F(-1) = -a + b, sehingga -a + b = 1 .......(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh nilai a dan b dengan cara eliminasi.

 a + b = -3

-a + b = 1

_________  +

   2b  = -2

     b = -1

Sehingga diperoleh nilai a = -2.

Dengan mengganti nilai a dan b pada ax + b, maka diperoleh -2x – 1.

Jadi, sisa pembagian pada suku banyak F(x) = 3x⁴ – 2x – 4 yang dibagi oleh (x – 1)(x + 1) adalah -2x – 1

Teorema Faktor.

Diketahui suku banyak F(x) = x³ – 4x² + x + p mempunyai faktor (x – 2). Tentukan nilai p.

Jawaban:

Diketahui x – 2 merupakan faktor dari F(x), maka F(2) = 0.

F(x) = x³ – 4x² + x + p

F(2) = 0

2³ – 4.2² + 2 + p = 0

    8 – 16 + 2 + p = 0

                -6 + p = 0

                       P = 6

Jadi, nilai p = 6